ΗΥ-121: Ηλεκτρικά Κυκλώματα
Άνοιξη 2011		 Τμ. Επ. Υπολογιστών
© Πανεπιστήμιο Κρήτης

Ασκήσεις και Εργαστήριο 6:
Κυκλώματα RL υπό Ημιτονοειδείς Διεγέρσεις

28 - 29 Μαρτίου 2011 (βδομάδα 7)
[Up - Table of Contents]
[Prev - 5. Transients in RLC circuits]		 [printer version - PDF]
[7. RC, RLC under Sinusoidal Sources - Next]

Διαβάστε επιλεγμένα θέματα σχετικά με την απόκριση μόνιμης κατάστασης κυκλωμάτων που περιέχουν αντιστάσεις, πυκνωτές, και πηνία, και των οποίων οι πηγές είναι ημιτονοειδείς συναρτήσεις του χρόνου, δεδομένης συχνότητας (και ενδεχομένως διαφόρων φάσεων). Διαβάστε γιά τα θέματα αυτά:

L-R low-pass filter under sine wave input

Άσκηση 6.1   Απόκριση Συχνοτήτων Βαθυπερατού Φίλτρου LR

Θεωρήστε το κύκλωμα πηνίου και αντίστασης που φαίνεται δεξιά. Η αντίσταση R = 10 Ω προορίζεται να παραστήσει το άθροισμα της εσωτερικής αντίστασης του πηνίου (το πολύ 5.8 Ω κατά τον κατασκευαστή --ας πούμε μέση τιμή 5.3 Ω εμείς εδώ) και μιάς εξωτερικής, δικής μας αντίστασης 4.7 Ω στο πείραμα 6.4 παρακάτω. Η πηγή παρέχει ημιτονοειδή τάση V1, συχνότητας f (Hz = cycles/s) και γωνιακής ταχύτητας ω = 2π * f (rad/s).

Από τη θεωρία ξέρουμε ότι, για τη δεδομένη συχνότητα f και γωνιακή ταχύτητα ω, η σύνθετη αντίσταση (εμπέδηση - impedance) του πηνίου είναι ZL = jωL (μιγαδικός αριθμός --όπου j είναι η φανταστική μονάδα), η εμπέδηση της αντίστασης είναι ZR = R, και η συνολική εμπέδηση των δύο στοιχείων εν σειρά είναι το άθροισμα, R+jωL. Από τον διαιρέτη τάσης προκύπτει ότι ο λόγος τάσης εξόδου προς τάση εισόδου (η συνάρτηση μεταφοράς) είναι V2/V1 = R / (R+jωL) = 1 / [1 + jω(L/R)]. Η διαίρεση αυτή, μιγαδικών αριθμών, γίνεται ευκολότερα σε πολικές συντεταγμένες: αν εκφράσουμε τον παρονομαστή σαν μέτρο και γωνία, τότε ο αντίστροφός του έχει το αντίστροφο μέτρο και την αντίθετη γωνία. Ο μιγαδικός αριθμός που προκύπτει (συνάρτηση μεταφοράς) μας δίνει τη σχέση τάσης εξόδου, V2, ως προς τάση εισόδου, V1: πολλαπλασιάζοντας την V1 επί τη συνάρτηση μεταφοράς προκύπτει η V2, δηλαδή το μέτρο της V2 είναι το μέτρο της V1 επί το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς, και η συνημιτονοειδής καμπύλη της V2 σαν συνάρτηση του χρόνου προπορεύεται εκείνης της V1 κατά τη γωνία της συνάρτησης μεταφοράς. Εδώ, που η συνάρτηση μεταφοράς έχει μέτρο μικρότερο της μονάδας και γωνία αρνητική, η τάση εξόδου θα είναι μικρότερη της τάσης εισόδου, και η συνημιτονοειδής καμπύλη της εξόδου θα έπεται χρονικά εκείνης της εισόδου.

Υπολογίστε το μέτρο και τη γωνία της παραπάνω συνάρτησης μεταφοράς γιά το κύκλωμα του σχήματος (L = 47 μH, R = 10 Ω), γιά κάθε μιά από τις εξής συχνότητες πηγής: 1 kHz, 2 kHz, 4 kHz, 8 kHz, 16 kHz, 25 kHz, 34 kHz, 50 kHz, 65 kHz, 125 kHz, 250 kHz, 500 kHz, και 1 MHz. Στην παραπάνω "γκάμα" συχνοτήτων, η "κεντρική" συχνότητα, 34 kHz, υποδεικνύει το "γόνατο" της συνάρτησης μεταφοράς (τη "συχνότητα αποκοπής"): εκεί όπου ο παρονομαστής γίνεται (1+j), δηλαδή η γωνιακή ταχύτητα ισούται με 1 rad ανά σταθερά χρόνου του κυκλώματος (σταθερά χρόνου = L/R). Όπως θα διαπιστώσετε, στις πολύ "χαμηλές" συχνότητες (πολύ χαμηλότερες από τη συχνότητα αποκοπής), η έξοδος V2 είναι σχεδόν ίση με την είσοδο V1 (συνάρτηση μεταφοράς ~= 1), αφού τα πηνία συμπεριφέρονται σαν βραχυκύκλωμα στις χαμηλές συχνότητες· αντίθετα, στις πολύ "ψηλές" συχνότητες (πολύ ψηλότερες από τη συχνότητα αποκοπής), η έξοδος είναι πολύ μικρότερη από την είσοδο (μέτρο συνάρτησης μεταφοράς << 1), αφού τα πηνία συμπεριφέρονται σαν ανοικτό κύκλωμα στις ψηλές συχνότητες --εξ ού και το όνομα "βαθυπερατό φίλτρο".

Πείραμα 6.2   Βαθυπερατό Φίλτρο LR στο Εργαστήριο

Κατασκευάστε στο εργαστήριο το κύκλωμα της άσκησης 6.1 παραπάνω και μετρήστε τη συνάρτηση μεταφοράς του. Στο εργαστήριο θα βάλετε μόνο την αντίσταση 4.7 Ω --τα υπόλοιπα είναι η εσωτερική αντίσταση του πηνίου (της οποίας την πραγματική τιμή μετρήστε προηγουμένως --εκτός κυκλώματος!-- με το ωμόμετρο). Χρησιμοποιήστε την παλμογεννήτρια, σε ημιτονοειδές σήμα, σαν πηγή, το κανάλι 1 του παλμογράφου γιά να βλέπετε την τάση V1, και το κανάλι 2 γιά να βλέπετε την V2. Επειδή η V2 είναι η τάση πάνω στα 4.7 Ω μόνο από την περίπου διπλάσια ολική αντίσταση μετά την V1, οι τάσεις V2 που θα βλέπετε εδώ θα είναι περίπου οι μισές από αυτές που υπολογίσατε στην άσκηση 6.1.

Προσοχή: Ρυθμίστε την τάση της πηγής σε σχετικά χαμηλές τιμές, τουλάχιστο γιά τις συχνότητες εκείνες που η εμπέδηση του πηνίου δεν είναι πολύ μεγάλη: η πηγή μεν μπορεί να δώσει γύρω στα 10 Volt (αν και πιθανότατα αυτή πέφτει με την τόσο μικρή αντίσταση φορτίου σε σχέση με την εσωτερική αντίσταση των ~50 Ω της πηγής), αν όμως τέτοιες ψηλές τάσεις εμφανιστούν πάνω στην τόσο χαμηλή αντίσταση R=4.7Ω, αυτή θα καεί! Παραδείγματός χάριν, και γιά ευκολία μετρήσεων, ρυθμίστε την τάση κορυφής της πηγής στο 1 Volt, οπότε η τάση κορυφής της V2 θα ισούται με το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς. Μόνο στις πολύ ψηλές συχνότητες, όπου η συνάρτηση μεταφοράς παίρνει εξαιρετικά μικρές τιμές (δηλαδή η εμπέδηση του πηνίου είναι πολύ μεγάλη, άρα σχεδόν όλη η τάση της πηγής "πέφτει" πάνω στο πηνίο, και πολύ λίγη στην αντίσταση), εάν η τάση V2 είναι τόσο μικρή που η μέτρησή της καθίσταται προβληματική, τότε ανεβάστε την τάση πηγής π.χ. στα 10 Volt γιά να πάρετε ευκρινέστερες μετρήσεις. Σε κάθε αλλαγή συχνότητας, πιθανότατα να πρέπει να ξαναρυθμίζετε την τάση πηγής, γιά να διατηρείται η V1 στο επίπεδο που την θέλετε, δεδομένου ότι η πηγή σας δεν είναι ιδανική, δηλαδή η εσωτερική της αντίσταση (~50 Ω) δεν είναι μηδέν. phase difference measurement

Μετρήστε το μέτρο και τη γωνία της συνάρτησης μεταφοράς γιά κάθε μιά από τις συχνότητες της άσκησης 6.1 (και πιθανόν και γιά περισσότερες) --γιά τη μέτρηση γωνίας δείτε το σχήμα δεξιά και το κείμενο παρακάτω. Απεικονίστε τόσο τους υπολογισμούς σας της άσκησης 6.1 όσο και τις μετρήσεις σας αυτού του πειράματος στο χαρτί millimetre με λογαριθμική κλίμακα συχνοτήτων (οριζόντια) που σας δίνεται [PDF]. Γιά το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς, χρησιμοποιήστε λογαριθμική κλίμακα και στον κατακόρυφο άξονα· γιά τη γωνία, προτιμήστε γραμμική κλίμακα, στον κατακόρυφο άξονα. Συγκρίνετε τις τιμές των υπολογισμών με τις τιμές των μετρήσεων, και εξηγήστε/σχολιάστε τυχόν αποκλίσεις. Επίσης, παρατηρήστε ότι η τάση V2 είναι ανάλογη προς το ρεύμα του κυκλώματος, αφού είναι τάση πάνω σε μία αντίσταση· άρα, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι στο κανάλι 2 του παλμογράφου βλέπουμε το ρεύμα του πηνίου. Στις ψηλές συχνότητες, όταν V2 πολύ μικρή, η τάση του πηνίου, V1-V2, είναι σχεδόν ίση με την V1, άρα είναι σχεδόν ό,τι βλέπουμε στο κανάλι 1. Υπ' αυτές τις συνθήκες, ελέγξτε ότι όντως η τάση του πηνίου, σε κάθε χρονική στιγμή, είναι ανάλογη προς την παράγωγο του ρεύματος που περνά από μέσα του εκείνη τη στιγμή.

Μέτρηση Διαφοράς Φάσης (γωνίας): Η μέτρηση της διαφοράς φάσης έχει νόημα όταν και τα δύο σήματα είναι περιοδικά και με την ίδια περίοδο (και επομένως και συχνότητα), και την ίδια μορφή. Βασικά, ανάγεται στη μέτρηση της χρονικής απόστασης μεταξύ αντίστοιχων σημείων των δύο κυματομορφών, σε σχέση με την (κοινή τους) περίοδο. Σαν αντίστοιχα σημεία μπορούν να επιλεγούν, ανάλογα με τα σήματα, π.χ. τα σημεία ελαχίστου, ή μεγίστου, ή μηδενισμού (και με την ίδια κατεύθυνση και τα δύο --ανερχόμενα ή κατερχόμενα-- προκειμένου γιά τα σημεία μηδενισμού). Γιά ημιτονοειδή σήματα, τα σημεία μηδενισμού έχουν το πλεονέκτημα της ακριβέστερης μέτρησης, επειδή εκεί η καμπύλη έχει τη μέγιστη κλίση. Στον παλμογράφο, γιά να βρείτε τα σημεία μηδενισμού πρέπει να ξέρετε πού (κατακόρυφα) είναι η θέση του μηδενός: αυτήν την ρυθμίζετε εσείς από το κουμπί (VERTICAL) "POSITION"· όταν πατήστε το κουμπί "GND", βλέπετε στην οθόνη μιάν οριζόντια γραμμή στη θέση του μηδενός, οπότε και μπορείτε να ρυθμίσετε το μηδέν εκεί που το θέλετε.

Προκειμένου γιά τα ημιτονοειδή σήματα στο σχήμα που δίδεται, όπου v1(t) = A1 sin(ωt) και v2(t) = A2 sin(ωt+φ), το v1(t) μηδενίζεται (ανερχόμενο) όταν ωt1 = 2πk (όπου k ακέραιος), δηλαδή γιά t1 = kT, ενώ το v2(t) μηδενίζεται (ανερχόμενο) όταν ωt2+φ = 2πk, δηλαδή γιά t2 = kT-(φ/2π)T, όπου T=2π/ω είναι η κοινή περίοδος των δύο σημάτων. Η χρονική απόσταση μεταξύ των μηδενισμών είναι τότε ΔT = t1 - t2 = (φ/2π)T, από την οποία προκύπτει η ζητούμενη μέτρηση: φ = 2π(ΔT/T) (όταν η γωνία μετράται σε ακτίνια), ή φ = 360(ΔT/T) (όταν η γωνία μετράται σε μοίρες).

Η διαφορά φάσης της v2 ως προς την v1 θεωρείται θετική όταν το σήμα 2 προηγείται χρονικά του σήματος 1, δηλαδή όταν πρώτα μηδενίζεται το σήμα 2 και μετά το 1, ή όταν τα σημεία μηδενισμού του 2 είναι αριστερά από εκείνα του 1, όπως στο παραπάνω σχήμα. Στην αντίθετη περίπτωση, η διαφορά φάσης θεωρείται αρνητική --κατά σύμβαση επιλέγουμε τη διαφορά φάσης μεταξύ -180 και +180 μοιρών.

[Up - Table of Contents]
[Prev - 5. Transients in RLC circuits]		 [printer version - PDF]
[7. RC, RLC under Sinusoidal Sources - Next]
Up to the Home Page of CS-121
 		 © copyright University of Crete, Greece.
last updated: 23 Mar. 2011, by M. Katevenis.