ΗΥ-121: Ηλεκτρικά Κυκλώματα
Άνοιξη 2012
Τμ. Επ. Υπολογιστών
© Πανεπιστήμιο Κρήτης

Ασκήσεις και Εργαστήριο 7:
Κυκλώματα RC και RLC υπό Ημιτονοειδείς Διεγέρσεις

2 - 5 Απριλίου 2012 (βδομάδα 8)
[Up - Table of Contents]
[Prev - 6. RL under Sinusoidal Sources]
[printer version - PDF]
[8. Diodes, Rectifiers - Next]

Διαβάστε επιλεγμένα θέματα σχετικά με την απόκριση μόνιμης κατάστασης κυκλωμάτων που περιέχουν αντιστάσεις, πυκνωτές, και πηνία, και των οποίων οι πηγές είναι ημιτονοειδείς συναρτήσεις του χρόνου, δεδομένης συχνότητας (και ενδεχομένως διαφόρων φάσεων), σε συνέχεια αυτών που ήδη διαβάσατε γιά το εργαστήριο 6 -- διαβάστε γιά τα θέματα αυτά:

R-C high-pass filter under sine wave input

Άσκηση 7.1   Απόκριση Συχνοτήτων Υψιπερατού Φίλτρου RC

Θεωρήστε το κύκλωμα πυκνωτή - αντίστασης που φαίνεται δεξιά. Κατ' αντιστοιχία προς το κύκλωμα L-R του εργαστηρίου 6, για τη δεδομένη συχνότητα f και γωνιακή ταχύτητα ω, η εμπέδηση του πυκνωτή είναι ZC = 1/jωC, η εμπέδηση της αντίστασης είναι ZR = R, και η συνολική εμπέδηση των δύο στοιχείων εν σειρά είναι το άθροισμα, R+1/jωC. Από τον διαιρέτη τάσης προκύπτει ότι η συνάρτηση μεταφοράς είναι V2/V1 = R / [R+(1/jωC)] = jωRC / (1 + jωRC). Εδώ, η συνάρτηση μεταφοράς έχει και πάλι μέτρο μικρότερο της μονάδας, αλλά γωνία θετική, επομένως η τάση εξόδου θα είναι μικρότερη της τάσης εισόδου, και η συνημιτονοειδής καμπύλη της εξόδου θα προπορεύεται χρονικά εκείνης της εισόδου.

Υπολογίστε όπως και στην άσκηση 6.1 το μέτρο και τη γωνία της συνάρτησης μεταφοράς γιά το κύκλωμα του σχήματος (C = 100 nF, R = 47 Ω), γιά κάθε μιά από τις ίδιες συχνότητες πηγής: 1 kHz, 2 kHz, 4 kHz, 8 kHz, 16 kHz, 25 kHz, 34 kHz, 50 kHz, 65 kHz, 125 kHz, 250 kHz, 500 kHz, και 1 MHz. Και πάλι η "κεντρική" συχνότητα, 34 kHz, είναι η συχνότητα αποκοπής, εκεί όπου ο παρονομαστής γίνεται (1+j), δηλαδή η γωνιακή ταχύτητα ισούται με 1 rad ανά σταθερά χρόνου του κυκλώματος (σταθερά χρόνου = RC --και εδώ η σταθερά χρόνου είναι 4.7 μs, όπως και στην άσκηση 6.1). Όπως θα διαπιστώσετε, στις πολύ "χαμηλές" συχνότητες (πολύ χαμηλότερες από τη συχνότητα αποκοπής), η έξοδος είναι πολύ μικρότερη από την είσοδο (μέτρο συνάρτησης μεταφοράς << 1), αφού οι πυκνωτές συμπεριφέρονται σαν ανοικτό κύκλωμα στις χαμηλές συχνότητες· αντίθετα, στις πολύ "ψηλές" συχνότητες (πολύ ψηλότερες από τη συχνότητα αποκοπής), η έξοδος V2 είναι σχεδόν ίση με την είσοδο V1 (συνάρτηση μεταφοράς ~= 1), αφού οι πυκνωτές συμπεριφέρονται σαν βραχυκύκλωμα στις ψηλές συχνότητες --εξ ού και το όνομα "υψιπερατό φίλτρο".

Για τη διευκόλυνση σας, για τον υπολογισμό του μέτρου και της φάσης των συναρτήσεων μεταφοράς (ασκήσεις 7.1 και 7.2), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αριθμομηχανή ή να γράψετε ένα μικρό πρόγραμμα στην γλώσσα που προτιμάτε. Ενδεικτικά, για την 7.1, το παρακάτω προγραμματάκι σε Python κάνει τους υπολογισμούς που χρειάζεστε· στις εκτυπώσεις που φτιάχνει, η τελευταία στήλη δίνει τη διαφορά χρόνου ΔΤ μεταξύ αντίστοιχων μηδενισμών των δύο ημιτονοειδών σημάτων. Όπως ξέρετε, η Python υποστηρίζει εγγενώς μιγαδικούς αριθμούς, και συνεπώς κάνει πολύ εύκολους τους υπολογισμούς των συναρτήσεων μεταφοράς:

  from  math import pi
  from cmath import phase
  R=47; C=100e-9; w0=1/(R*C); f0=w0/(2*pi)
  f=[1000,2000,4000,8000,16000,25000,50000,65000,125000,250000,500000,1000000,f0]
  f.sort()
  for fi in f:
      Hi=1j*2*pi*fi*R*C/(1+1j*2*pi*fi*R*C)
      print fi,Hi,abs(Hi),phase(Hi)*180/pi,phase(Hi)/(2*pi*fi)*1e6
L-C band-pass (resonant) filter under sine wave input

Άσκηση 7.2   Απόκριση Ζωνοπερατού Φίλτρου LC - Συντονισμός

Θεωρήστε το συντονιζόμενο κύκλωμα πηνίου-πυκνωτή, με μιά μικρή αντίσταση όπως στην άσκηση 6.1, που φαίνεται δεξιά. Όπως και πρίν, η εμπέδηση του πηνίου είναι ZL = jωL, η εμπέδηση του πυκνωτή είναι ZC = 1/jωC = -j/ωC, η εμπέδηση της αντίστασης είναι ZR = R, και η συνολική εμπέδηση των τριών στοιχείων εν σειρά είναι το άθροισμα, R+j(ωL-1/ωC). Από τον διαιρέτη τάσης προκύπτει ότι η συνάρτηση μεταφοράς είναι V2/V1 = R / [R+j(ωL-1/ωC)] = 1 / {1 + j[ω(L/R) - 1/ωRC]}. Εδώ βλέπουμε ότι το μέτρο του παρονομαστή ελαχιστοποιείται --άρα το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς μεγιστοποιείται-- όταν η εμπέδηση του πυκνωτή, ZC = -j/ωC, γίνεται ακριβώς αντίθετη της εμπέδησης του πηνίου, ZL = jωL, δηλαδή όταν ωL = 1/ωC, ή αλλοιώς ω = 1/sqrt(LC), που είναι ακριβώς η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης (συντονισμού) του κυκλώματος L-C που ξέραμε από το εργαστήριο 5.

Υπολογίστε όπως και στην άσκηση 6.1 το μέτρο και τη γωνία της συνάρτησης μεταφοράς γιά το κύκλωμα του σχήματος (C = 100 nF, L= 47 μH, R = 10 Ω), γιά κάθε μιά από τις εξής συχνότητες πηγής: 6 kHz, 12 kHz, 25 kHz, 35 kHz, 50 kHz, 60 kHz, 73.41 kHz, 90 kHz, 100 kHz, 140 kHz, 200 kHz, 400 kHz, και 800 kHz. Εδώ, η "κεντρική" συχνότητα, 73.41 kHz, είναι η συχνότητα συντονισμού. Όπως θα διαπιστώσετε, στη συχνότητα συντονισμού η έξοδος V2 είναι ίση με την είσοδο V1 (συνάρτηση μεταφοράς = 1), ενώ τόσο "λίγο κάτω" όσο και "λίγο πάνω" από τη συχνότητα συντονισμού η έξοδος είναι πολύ μικρότερη από την είσοδο (μέτρο συνάρτησης μεταφοράς << 1), αφού είτε ο πυκνωτής (προς τα κάτω) είτε το πηνίο (προς τα πάνω) συμπεριφέρονται σαν ανοικτό κύκλωμα --εξ ού και το όνομα "ζωνοπερατό φίλτρο", αφού αφήνει να περάσουν μόνο μία ζώνη συχνοτήτων. Οι δέκτες ραδιοφώνων, τηλεοράσεων, και γενικά ασύρματων επιπκοινωνιών χρησιμοποιούν αυτή την αρχή γιά να "συντονίζονται" στη συχνότητα ενός σταθμού, και να αποκόπτουν τα σήματα από σταθμούς άλλων συχνοτήτων.

Πείραμα 7.3   Υψιπερατό Φίλτρο RC στο Εργαστήριο

Κατασκευάστε στο εργαστήριο το κύκλωμα της άσκησης 7.1 παραπάνω και μετρήστε τη συνάρτηση μεταφοράς του. Χρησιμοποιήστε την παλμογεννήτρια, σε ημιτονοειδές σήμα, σαν πηγή, το κανάλι 1 του παλμογράφου γιά να βλέπετε την τάση V1, και το κανάλι 2 γιά να βλέπετε την V2. Προσέξτε, όπως και στο πείραμα 6.2, να ρυθμίζετε την τάση της πηγής σας σε σχετικά χαμηλές τιμές ώστε να μην κάψετε την αντίσταση! (Μόνον στις πολύ χαμηλές συχνότητες, όταν η εμπέδηση του πυκνωτή είναι πολύ μεγάλη, εάν η τάση V2 είναι τόσο μικρή που η μέτρησή της καθίσταται προβληματική, τότε ανεβάστε την τάση πηγής π.χ. στα 10 Volt γιά να πάρετε ευκρινέστερες μετρήσεις).

Μετρήστε το μέτρο και τη γωνία της συνάρτησης μεταφοράς γιά κάθε μιά από τις συχνότητες της άσκησης 7.1 (και πιθανόν και γιά περισσότερες). Απεικονίστε γραφικά τόσο τους υπολογισμούς σας της άσκησης 7.1 όσο και τις μετρήσεις σας αυτού του πειράματος, κατ' αναλογία όπως και στο πείραμα 6.2. Υπενθυμίζεται ότι είχε δοθεί εκεί χαρτί millimetre με λογαριθμική κλίμακα συχνοτήτων (οριζόντια): PDF. Γιά το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς χρησιμοποιήστε λογαριθμική κλίμακα και στον κατακόρυφο άξονα· γιά τη γωνία, προτιμήστε γραμμική κλίμακα, στον κατακόρυφο άξονα. Συγκρίνετε τις τιμές των υπολογισμών με τις τιμές των μετρήσεων, και εξηγήστε/σχολιάστε τυχόν αποκλίσεις. Όπως είπαμε στο πείραμα 6.2, η τάση V2, στο κανάλι 2 του παλμογράφου, είναι ανάλογη προς το ρεύμα του πυκνωτή. Στις χαμηλές συχνότητες, όταν V2 πολύ μικρή, η τάση του πυκνωτή, V1-V2, είναι σχεδόν ίση με την V1, άρα είναι σχεδόν ό,τι βλέπουμε στο κανάλι 1. Υπ' αυτές τις συνθήκες, ελέγξτε ότι όντως το ρεύμα του πυκνωτή, σε κάθε χρονική στιγμή, είναι ανάλογο προς την παράγωγο της τάσης του εκείνη τη στιγμή.

Πείραμα 7.4   Ζωνοπερατό, Συντονιζόμενο Φίλτρο LC στο Εργαστήριο

Κατασκευάστε στο εργαστήριο το κύκλωμα της άσκησης 7.2 παραπάνω και μετρήστε τη συνάρτηση μεταφοράς του. Στο εργαστήριο θα βάλετε μόνο την αντίσταση 4.7 Ω --τα υπόλοιπα είναι η εσωτερική αντίσταση του πηνίου που μετρήσατε στο πείραμα 6.2. Χρησιμοποιήστε την παλμογεννήτρια, σε ημιτονοειδές σήμα, σαν πηγή, το κανάλι 1 του παλμογράφου γιά να βλέπετε την τάση V1, και το κανάλι 2 γιά να βλέπετε την V2. Επειδή η V2 είναι η τάση πάνω στα 4.7 Ω μόνο από την περίπου διπλάσια ολική αντίσταση μετά την V1, οι τάσεις V2 που θα βλέπετε εδώ θα είναι περίπου οι μισές από αυτές που υπολογίσατε στην άσκηση 7.2. Προσέξτε, όπως και στο πείραμα 7.3, να ρυθμίζετε την τάση της πηγής σας σε σχετικά χαμηλές τιμές ώστε να μην κάψετε την αντίσταση! (Μόνον σε συχνότητες πολύ μακριά από το συντονισμό, όταν η εμπέδηση του πυκνωτή ή του πηνίου είναι πολύ μεγάλη, εάν η τάση V2 είναι τόσο μικρή που η μέτρησή της καθίσταται προβληματική, τότε ανεβάστε την τάση πηγής π.χ. στα 10 Volt γιά να πάρετε ευκρινέστερες μετρήσεις).

Ψάξτε να βρήτε και να μετρήσετε τη συχνότητα συντονισμού: τη συχνότητα εκείνη όπου μεγιστοποιείται το πλάτος της εξόδου V2· τι διαφορά φάσης έχει η V2 από τη V1 στη συχνότητα συντονισμού, και γιατί; Μετρήστε το μέτρο και τη γωνία της συνάρτησης μεταφοράς γιά πολλές συχνότητες γύρω από τη συχνότητα συντονισμού --πιό πυκνά κοντά στη συχνότητα συντονισμού, και κάπως αραιότερα πιό μακρυά. Απεικονίστε γραφικά τόσο τους υπολογισμούς σας της άσκησης 7.2 όσο και τις μετρήσεις σας αυτού του πειράματος, κατ' αναλογία όπως και στο πείραμα 6.2. Συγκρίνετε τις τιμές των υπολογισμών με τις τιμές των μετρήσεων, και εξηγήστε/σχολιάστε τυχόν αποκλίσεις. Παρατηρήστε ότι η συχνότητα συντονισμού πιθανότατα διαφέρει από τα 73.41 kHz της άσκησης 7.2 --γιατί;


[Up - Table of Contents]
[Prev - 6. RL under Sinusoidal Sources]
[printer version - PDF]
[8. Diodes, Rectifiers - Next]

Up to the Home Page of CS-121
 
© copyright University of Crete, Greece.
last updated: 27 March 2012, by M. Katevenis.